Con este teorema tendremos una relación entre todos los lados de un triángulo y uno de sus ángulos. De manera que si conocemos todos los elementos que determinan un triángulo, podremos calcular el resto. Por ejemplo, si tenemos todos los lados tenemos un triángulo determinado, y entonces con el teorema del coseno podemos conocer todos sus ángulos. También es posible que conozcamos sólo dos lados pero con uno de sus ángulos, el triángulo está determinado y con el teorema nos podremos calcular el lado que falta y el resto de ángulos.
Tenemos un triángulo ABC que no es rectángulo. Con la recta $h$ lo dividimos en dos triángulos rectángulos ABD y BDC. Aplicamos el teorema de Pitágoras en ambos triángulos:
En el triángulo ABD: $c^{2}=h^{2}+(b-p)^{2}$
En el triángulo BDC: $a^{2}=h^{2}+p^{2}$
A continuación aislamos el valor de $h^{2}$ de la segunda expresión y lo sustituimos en la primera:
$c^{2}=a^{2}-p^{2}+(b-p)^{2}$
$c^{2}=a^{2}-p^{2}+b^{2}-2bp+p^{2}$
Si tenemos en cuenta que $p=a\cos C$, obtenemos el teorema del coseno:
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$
Podemos dibujar las otras dos alturas del triángulo ABC y seguir el mismo procedimiento para obtener las dos ecuaciones restantes:
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$
$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$