Un objeto sin velocidad inicial se coloca en una rampa y se deja caer. El objeto tiene una masa de 1 kg y el plano inclinado un ángulo de 45°. Podrá recorrer 3 metros por la rampa antes de que toque el suelo.
(a) ¿A qué velocidad llegará abajo si el coeficiente de fricción es μ=0,2 ? ¿Y si no tenemos en cuenta la fricción?
(b) ¿Cuanto tiempo tardará en llegar en ambos casos?
En este ejercicio tenemos un objeto que se deslizará por la rampa sólo por el efecto de la gravedad. Cuando tengamos en cuenta la fricción habrá otra fuerza opuesta a la componente horizontal del peso y al movimiento que ralentizará el deslizamiento del bloque. Primero haremos el dibujo esquemático y encontraremos todas las fuerzas:
$P_{y}=P\cos\alpha=mg\cos\alpha$
$P_{x}=P\sin\alpha=mg\sin\alpha$
$F_{r}=\mu N=\mu P_{y}=\mu mg\cos\alpha$
La diferencia entre la componente horizontal del peso y la fuerza de fricción da la fuerza resultante que provoca el movimiento hacia abajo:
$P_{x}-F_{r}=ma$
$mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=ma$
$a=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha$
Una vez calculada la aceleración con la que se deslizará el bloque, calcularemos la velocidad final con la que llegará al final de la rampa. Sabemos que la velocidad inicial es cero y conocemos el valor de x, el desplazamiento.
$v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2ax$
$v_{f}^{2}=0^{2}+2ax$
$v_{f}=\sqrt{2ax}$
$v_{f}=\sqrt{2(g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha)x}$
$v_{f}=\sqrt{2(9,8·\sin(45)-0,2·9,8·\cos(45))·3}=5,76 m/s$
En el caso de que $\mu=0$ la velocidad final será mayor:
$v_{f}=\sqrt{2g\sin(\alpha) x}$
$v_{f}=\sqrt{2·9,8·\sin(45)·3}=6,44 m/s$
Ahora vamos a calcular el tiempo de bajada. Para ello utilizaremos la siguiente expresión:
$v_{f}=v_{0}+at$
Conocemos la velocidad final, la aceleración y sabemos que la velocidad inicial es cero. Es tan fácil como sustituir estas variables por sus valores y aislar el tiempo. Pero nosotros vamos a calcular el tiempo no sólo numéricamente sino también algebráicamente, en función de $x, g, \alpha$ y $\mu$.
$v_{f}=v_{0}+at$
$\sqrt{2ax}=0+at$
$2ax=a^{2}t^{2}$
$\dfrac{2x}{a}=t^{2}$
Entonces el valor final del tiempo es:
$t=\sqrt{\dfrac{2x}{g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha}}$
$t=1,04 s$
Si no tenemos en cuenta la fuerza de fricción, el objeto tarda menos en bajar:
$t=\sqrt{\dfrac{2x}{g\sin\alpha}}$
$t=0,93 s$
(a) ¿A qué velocidad llegará abajo si el coeficiente de fricción es μ=0,2 ? ¿Y si no tenemos en cuenta la fricción?
(b) ¿Cuanto tiempo tardará en llegar en ambos casos?
En este ejercicio tenemos un objeto que se deslizará por la rampa sólo por el efecto de la gravedad. Cuando tengamos en cuenta la fricción habrá otra fuerza opuesta a la componente horizontal del peso y al movimiento que ralentizará el deslizamiento del bloque. Primero haremos el dibujo esquemático y encontraremos todas las fuerzas:
$P_{y}=P\cos\alpha=mg\cos\alpha$
$P_{x}=P\sin\alpha=mg\sin\alpha$
$F_{r}=\mu N=\mu P_{y}=\mu mg\cos\alpha$
La diferencia entre la componente horizontal del peso y la fuerza de fricción da la fuerza resultante que provoca el movimiento hacia abajo:
$P_{x}-F_{r}=ma$
$mg\sin\alpha-\mu mg\cos\alpha=ma$
$a=g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha$
Una vez calculada la aceleración con la que se deslizará el bloque, calcularemos la velocidad final con la que llegará al final de la rampa. Sabemos que la velocidad inicial es cero y conocemos el valor de x, el desplazamiento.
$v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2ax$
$v_{f}^{2}=0^{2}+2ax$
$v_{f}=\sqrt{2ax}$
$v_{f}=\sqrt{2(g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha)x}$
$v_{f}=\sqrt{2(9,8·\sin(45)-0,2·9,8·\cos(45))·3}=5,76 m/s$
En el caso de que $\mu=0$ la velocidad final será mayor:
$v_{f}=\sqrt{2g\sin(\alpha) x}$
$v_{f}=\sqrt{2·9,8·\sin(45)·3}=6,44 m/s$
Ahora vamos a calcular el tiempo de bajada. Para ello utilizaremos la siguiente expresión:
$v_{f}=v_{0}+at$
Conocemos la velocidad final, la aceleración y sabemos que la velocidad inicial es cero. Es tan fácil como sustituir estas variables por sus valores y aislar el tiempo. Pero nosotros vamos a calcular el tiempo no sólo numéricamente sino también algebráicamente, en función de $x, g, \alpha$ y $\mu$.
$v_{f}=v_{0}+at$
$\sqrt{2ax}=0+at$
$2ax=a^{2}t^{2}$
$\dfrac{2x}{a}=t^{2}$
Entonces el valor final del tiempo es:
$t=\sqrt{\dfrac{2x}{g\sin\alpha-\mu g\cos\alpha}}$
$t=1,04 s$
Si no tenemos en cuenta la fuerza de fricción, el objeto tarda menos en bajar:
$t=\sqrt{\dfrac{2x}{g\sin\alpha}}$
$t=0,93 s$