El principio de Arquímedes nos dice que:
Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe una fuerza hacia arriba igual al peso de todo el fluido desalojado.
Esta fuerza la denominaremos fuerza de empuje: $E$. Dicha fuerza contrarresta el peso del cuerpo y es la responsable de que algunos objetos floten y otros se hundan. Si seguimos lo que nos dice el principio, la fuerza de empuje la podemos expresar así:
Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe una fuerza hacia arriba igual al peso de todo el fluido desalojado.
Esta fuerza la denominaremos fuerza de empuje: $E$. Dicha fuerza contrarresta el peso del cuerpo y es la responsable de que algunos objetos floten y otros se hundan. Si seguimos lo que nos dice el principio, la fuerza de empuje la podemos expresar así:
$E=V\rho g$
Donde $V$ es el volumen que ocupa el fluido desalojado, $\rho$ es su densidad y $g$ la gravedad. Como vemos la masa del fluido está expresada como el producto del volumen($m^{3}$) por su densidad($kg/m^{3}$). Entonces, la diferencia entre las fuerzas $E$ y $mg$ nos determinará si un objeto flota o no.
Si $E\geq mg$ el cuerpo flotará, por el contrario si $E<mg$ el cuerpo se hundirá. Si tomamos como ejemplo el caso de un barco, cuando éste está flotando en reposo tenemos que $E=mg$. Pero resulta que ahora le añadimos una carga y su peso aumenta, el resultado es que aumenta el volumen del barco sumergido y consecuentemente el volumen de agua desplazada. El peso ha aumentado pero también la fuerza de empuje, de manera que se llega a una nueva situación de equilibrio. Esta relación entre la fuerza de empuje y el peso la podemos escribir así:
$E=mg$
$V\rho g=mg$
$V\rho=m$
Es decir, que la flotabilidad de un cuerpo en un fluido sólo depende del volumen desalojado, la densidad del fluido y la masa del cuerpo. Si queremos ver qué profundidad debe tener el cuerpo bajo el fluido para que flote, sólo tenemos que expresar el volumen desalojado como el producto de la profundidad $y$ por la superficie del cuerpo $S$:
$V=yS$
$yS\rho=m$
Lo que vemos es que dada una superficie del objeto y una densidad del fluido constantes, si aumentamos la masa del objeto deberá aumentar la profundidad para que no se hunda.
Demostración:
A continuación podemos demostrar de forma sencilla la expresión de $E=V\rho g$. Imaginemos que tenemos un fluido en reposo en un recipiente. Podemos coger un pequeño volumen de este fluido y estudiar qué fuerzas interaccionan con él. En el dibujo de la derecha se muestra el fluido en un recipiente junto con el pequeño volumen cilíndrico que hemos tomado. Nuestro cilindro lleno de fluido recibirá fuerzas por arriba y por abajo debido a la presión que el resto del fluido ejerce sobre él. Las fuerzas laterales se han eliminado porque son iguales y se anulan entre sí. Pero las fuerzas $F_{1}$ y $F_{2}$ no son iguales y su diferencia dará como resultado la fuerza de empuje $E$ que necesita nuestro pequeño cilindro para contrarrestar su propio peso. No olvidemos que todo el fluido está en reposo y todas las fuerzas tienen que contrarrestarse. Entonces tenemos:$E=P_{2}S-P_{1}S$
Donde $P$ es la presión y $S$ la superficie del pequeño cilindro. Conocemos que la presión de un fluido es $P=h\rho g$, es decir que depende de la profundidad, la densidad y la gravedad. Es por eso que $F_{1}$ y $F_{2}$ no son iguales, ya que son fuerzas que se ejercen a profundidades distintas. Dicho esto, podemos escribir la expresión anterior como:
$E=h_{2}\rho gS-h_{1}\rho gS=(h_{2}-h_{1})\rho gS$
Como $h_{2}-h_{1}=H$ y el volumen del cilindro es $V=HS$ tenemos que:
$E=H\rho gS=V\rho g$
Esto nos dice que la fuerza de empuje del cilindro es el producto del volumen de fluido desplazado, la densidad y la gravedad. Hemos deducido el principio de Arquímedes.