(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
No es nada aconsejable aprendérselas de memoria sin saber de dónde salen. Resulta muy fácil deducirlas:
(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+(-b)a+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
(a+b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+ba+b(-b)=a^{2}-b^{2}
Ejemplos:
(x+4)^{2}=x^{2}+2x4+4^{2}=x^{2}+8x+16
(3-2x)^{2}=3^{2}-2·3·2x+(2x)^{2}=9-12x+4x^{2}
(1+x)(1-x)=1^{2}-x^{2}=1-x^{2}
Las identidades notables anteriores son los casos típicos, pero vamos a ver ahora cómo resolveríamos otras que no son tan frecuentes:
(a+b+c)^{2}=?
En este caso sólo tenemos definir d=b+c, así podremos resolverlo utilizando el método anterior con (a+d)^{2}. Una vez resuelto, volveremos a poner la igualdad en función de b y c.
d=b+c
(a+b+c)^{2}=(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2}=a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}=
=a^{2}+2ab+2ac+b^{2}+2bc+c^{2}
Otro caso que nos podemos plantear es (a+b)^{3}. Su resolución es exactamente la misma que en los casos anteriores, pero esta vez será un proceso más largo:
(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)=
=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}a+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}
Podríamos repetir este cálculo con (a+b)^{4}, (a+b)^{5}, etc, pero cada vez sería más largo y lento de resolver. Existe una fórmula para calcular (a+b)^{n}, donde n es cualquier número natural. Si te interesa saber más sigue nuestro artículo del Teorema del binomio y triángulo de Pascal.