$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
No es nada aconsejable aprendérselas de memoria sin saber de dónde salen. Resulta muy fácil deducirlas:
$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+(-b)a+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+ba+b(-b)=a^{2}-b^{2}$
Ejemplos:
$(x+4)^{2}=x^{2}+2x4+4^{2}=x^{2}+8x+16$
$(3-2x)^{2}=3^{2}-2·3·2x+(2x)^{2}=9-12x+4x^{2}$
$(1+x)(1-x)=1^{2}-x^{2}=1-x^{2}$
Las identidades notables anteriores son los casos típicos, pero vamos a ver ahora cómo resolveríamos otras que no son tan frecuentes:
$(a+b+c)^{2}=?$
En este caso sólo tenemos definir $d=b+c$, así podremos resolverlo utilizando el método anterior con $(a+d)^{2}$. Una vez resuelto, volveremos a poner la igualdad en función de $b$ y $c$.
$d=b+c$
$(a+b+c)^{2}=(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2}=a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}=$
$=a^{2}+2ab+2ac+b^{2}+2bc+c^{2}$
Otro caso que nos podemos plantear es $(a+b)^{3}$. Su resolución es exactamente la misma que en los casos anteriores, pero esta vez será un proceso más largo:
$(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)=$
$=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}a+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Podríamos repetir este cálculo con $(a+b)^{4}$, $(a+b)^{5}$, etc, pero cada vez sería más largo y lento de resolver. Existe una fórmula para calcular $(a+b)^{n}$, donde $n$ es cualquier número natural. Si te interesa saber más sigue nuestro artículo del Teorema del binomio y triángulo de Pascal.