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Identidades notables

Suelen llamar identidades notables a estas tres igualdades:

(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

No es nada aconsejable aprendérselas de memoria sin saber de dónde salen. Resulta muy fácil deducirlas:

(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ba+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+(-b)a+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

(a+b)(a-b)=a^{2}+a(-b)+ba+b(-b)=a^{2}-b^{2}


Ejemplos:

(x+4)^{2}=x^{2}+2x4+4^{2}=x^{2}+8x+16

(3-2x)^{2}=3^{2}-2·3·2x+(2x)^{2}=9-12x+4x^{2}

(1+x)(1-x)=1^{2}-x^{2}=1-x^{2}


Las identidades notables anteriores son los casos típicos, pero vamos a ver ahora cómo resolveríamos otras que no son tan frecuentes:

(a+b+c)^{2}=?

En este caso sólo tenemos definir d=b+c, así podremos resolverlo utilizando el método anterior con (a+d)^{2}. Una vez resuelto, volveremos a poner la igualdad en función de b y c.

d=b+c

(a+b+c)^{2}=(a+d)^{2}=a^{2}+2ad+d^{2}=a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}=

=a^{2}+2ab+2ac+b^{2}+2bc+c^{2}

Otro caso que nos podemos plantear es (a+b)^{3}. Su resolución es exactamente la misma que en los casos anteriores, pero esta vez será un proceso más largo:

(a+b)^{3}=(a+b)(a+b)(a+b)=(a^{2}+2ab+b^{2})(a+b)=

=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}a+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

Podríamos repetir este cálculo con (a+b)^{4}, (a+b)^{5}, etc, pero cada vez sería más largo y lento de resolver. Existe una fórmula para calcular (a+b)^{n}, donde n es cualquier número natural. Si te interesa saber más sigue nuestro artículo del Teorema del binomio y triángulo de Pascal.