Podemos calcular binomios del tipo $(x+y)^{2}$, $(x+y)^{3}$, $(x+y)^{4}$, etc, pero a medida que el exponente de la potencia aumenta resulta más difícil calcularlos. El teorema del binomio nos da una fórmula para calcular la n-ésima potencia de un binomio. Ésta es su expresión:
$$(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}x^{n-k}y^{k}$$
El término de la fracción es lo que se conoce como el coeficiente binomial. Es un número combinatorio que nos indica el número de formas de escoger $k$ elementos a partir de un conjunto de $n$. También se puede escribir así: $\binom{n}{k}$. Entonces, podemos escribir el anterior sumatorio de forma expandida:
$$(x+y)^{n}=\binom{n}{0}x^{n}y^{0}+\binom{n}{1}x^{n-1}y^{1}+\binom{n}{2}x^{n-2}y^{2}+\dots+\binom{n}{n}x^{0}y^{n}$$Recordando que $\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$
Como ejemplo, utilizaremos la fórmula para $n=2,3,4$ i $5$:
$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$
$(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}$
$(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}$
$(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}$
En estos binomios que hemos calculado, podemos ver que el primer término siempre es $x^{n}$ y $y^{0}=1$. En el segundo término el exponente de $x$ se ve reducido en una unidad, mientras que el de $y$ aumenta. Y así continuamente, hasta que $x^{0}=1$ y $y^{n}$.
Por otro lado, el cálculo de los coeficientes lo hemos efectuado con el coeficiente binomial. Es fácil darse cuenta en los ejemplos calculados que los coeficientes son "simétricos". Es decir, $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}$, $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}$, $\binom{n}{2}=\binom{n}{n-2}$, etc. Por ejemplo, en $(x+y)^{3}$ el coeficiente de $x^{3}$ es $1$, el mismo que el de $y^{3}$; y el coeficiente de $x^{2}y$ y de $xy^{2}$ es $3$ en ambos. Para conocer con más detalle el cálculo de números combinatorios y sus propiedades, visita nuestros artículos de combinatoria.
Otro método para calcular los coeficientes de la potencia de un binomio, es a través del triángulo de Pascal. En dicho triángulo, cada número que lo forma es la suma de los dos números situados encima. Por ejemplo, en la fila 1, 4, 6, 4, 1 el número 4 es la suma del 1 y el 3 de encima, y el número 6 es la suma de los dos 3 de encima. Los laterales son siempre 1. Dicho esto, es fácil comprobar que el triángulo de Pascal está formado por los coeficientes binomiales que estamos buscando. La fila 1, 2, 1 tiene los coeficientes de $(x+y)^{2}$, la fila 1, 3, 3, 1 tiene los coeficientes de $(x+y)^{3}$, etc.