(a) El tiempo que tarda en subir.
(b) La altura máxima que alcanza.
Para calcular el tiempo de subida utilizaremos la siguiente expresión:
$v_{f}=v_{0}-gt$
En este caso no debemos olvidar el signo negativo, ya que la gravedad se opone al movimiento inicial. A medida que sube la pelota la velocidad inicial va disminuyendo por la gravedad, hasta que la velocidad final que alcanza es cero. Entonces tenemos:
$t=\dfrac{v_{0}}{g}$
$t=\dfrac{20 m/s}{9,8 m/s^{2}}=2,04 s$
$0=v_{0}-gt$
$t=\dfrac{v_{0}}{g}$
$t=\dfrac{20 m/s}{9,8 m/s^{2}}=2,04 s$
Una vez calculado el tiempo de subida, sólo tenemos que sustituirlo en la siguiente expresión para determinar la altura a la que llegará la pelota antes de empezar a caer. Como en el caso anterior, el término de la gravedad tiene signo negativo.
$y=y_{0}+v_{0}t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$
Resulta inmediato el cálculo de $y$ ya que $g$, $v_{0}$ y $t$ son valores conocidos y $y_{0}=0$ porque tomamos como referencia el punto de inicio del movimiento. Pero podemos hacer un poco más y encontrar $y$ analíticamente, sólo en función de $v_{0}$ y $g$:
$y=0+v_{0}t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$
Sustituimos el valor de $t$ encontrado anteriormente:
$y=v_{0}\dfrac{v_{0}}{g}-\dfrac{1}{2}g\dfrac{v_{0}^{2}}{g^{2}}$
$y=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}}{g}$
$y=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$
$y=\dfrac{(20 m/s)^{2}}{2·9,8 m/s^{2}}=20,4 m$
El dato de que la masa de la pelota es de 100 gr era para despistar, en nuestro sencillo ejercicio la masa no sirve para nada.
Resulta inmediato el cálculo de $y$ ya que $g$, $v_{0}$ y $t$ son valores conocidos y $y_{0}=0$ porque tomamos como referencia el punto de inicio del movimiento. Pero podemos hacer un poco más y encontrar $y$ analíticamente, sólo en función de $v_{0}$ y $g$:
$y=0+v_{0}t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$
Sustituimos el valor de $t$ encontrado anteriormente:
$y=v_{0}\dfrac{v_{0}}{g}-\dfrac{1}{2}g\dfrac{v_{0}^{2}}{g^{2}}$
$y=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}-\dfrac{1}{2}\dfrac{v_{0}^{2}}{g}$
$y=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}$
El resultado analítico nos enseña que si la velocidad inicial es grande, obviamente la altura a la que llegará la pelota también será proporcionalmente mayor. En cambio, la gravedad es inversamente proporcional, lo que significa que con una gravedad mayor la pelota no llegará muy lejos. El siguiente es el resultado numérico:
$y=\dfrac{(20 m/s)^{2}}{2·9,8 m/s^{2}}=20,4 m$
El dato de que la masa de la pelota es de 100 gr era para despistar, en nuestro sencillo ejercicio la masa no sirve para nada.