Calcula el área de un polígono regular de 15 lados, sabiendo que cada lado mide 2 cm.
Hemos dibujado el polígono de 15 lados indicando uno de los triángulos que lo forman. Deberemos calcular el área de uno de estos triángulos para obtener el área total del polígono. El ángulo $\beta$ lo podemos deducir fácilmente, sólo tenemos que dividir los 360° de la esfera indicada en el centro del polígono entre los 15 triángulos que comparten su centro. Entonces, el ángulo $\beta$ para cualquiera de estos triángulos es:
$\beta =\dfrac{360^{\circ}}{15}=24^{\circ}$
Como se trata de un polígono regular, formado por triángulos isósceles, los otros dos ángulos $\alpha$ son iguales y miden:
$180^{\circ}=24^{\circ}+2\alpha$
$\alpha=\dfrac{180^{\circ}-24^{\circ}}{2}=78^{\circ}$
Una vez calculados todos los ángulos del triángulo, podemos aplicar el teorema del seno para obtener los lados $a$:
$\dfrac{a}{\sin(78)}=\dfrac{b}{\sin(24)}$
$a=\dfrac{b\sin(78)}{\sin(24)}$
Ahora sólo necesitamos la altura $h$ para poder calcular luego el área. Conociendo $\alpha$ y $b$, el cálculo de la altura es fácil:
$\sin(78)=\dfrac{h}{b}$
$h=b\sin(78)$
Entonces, el área de uno de los triángulos es:
$A_{tri}=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{b^{2}\sin(78)^{2}}{2\sin(24)}$
Finalmente, sólo nos queda multiplicar el resultado por los 15 triángulos que forman el polígono. Hemos obtenido el área del polígono en función de la longitud de sus lados $b$. En nuestro caso, con $b=2\ cm$, podemos encontrar también la solución numérica:
$A_{pol}=\dfrac{15}{2}\dfrac{b^{2}\sin(78)^{2}}{\sin(24)}$ $A_{pol}=70,56 \ cm^{2}$
$\beta =\dfrac{360^{\circ}}{15}=24^{\circ}$
Como se trata de un polígono regular, formado por triángulos isósceles, los otros dos ángulos $\alpha$ son iguales y miden:
$180^{\circ}=24^{\circ}+2\alpha$
$\alpha=\dfrac{180^{\circ}-24^{\circ}}{2}=78^{\circ}$
Una vez calculados todos los ángulos del triángulo, podemos aplicar el teorema del seno para obtener los lados $a$:
$\dfrac{a}{\sin(78)}=\dfrac{b}{\sin(24)}$
$a=\dfrac{b\sin(78)}{\sin(24)}$
Ahora sólo necesitamos la altura $h$ para poder calcular luego el área. Conociendo $\alpha$ y $b$, el cálculo de la altura es fácil:
$\sin(78)=\dfrac{h}{b}$
$h=b\sin(78)$
Entonces, el área de uno de los triángulos es:
$A_{tri}=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{b^{2}\sin(78)^{2}}{2\sin(24)}$
Finalmente, sólo nos queda multiplicar el resultado por los 15 triángulos que forman el polígono. Hemos obtenido el área del polígono en función de la longitud de sus lados $b$. En nuestro caso, con $b=2\ cm$, podemos encontrar también la solución numérica:
$A_{pol}=\dfrac{15}{2}\dfrac{b^{2}\sin(78)^{2}}{\sin(24)}$ $A_{pol}=70,56 \ cm^{2}$