¿A qué altura tenemos que dejar caer un objeto des de B para que llegue al punto A con la velocidad mínima que le permita hacer la vuelta sin caer? El radio de la circunferencia es de 2 m.
Primero calcularemos la velocidad mínima que tiene que llevar el objeto para pasar por el punto A sin caer. Cuando se encuentra en el looping el peso lo empuja hacia abajo y la fuerza centrífuga hacia el exterior de la curva, en este caso hacia arriba.
Para que el objeto no caiga, la fuerza centrífuga deberá ser igual o superior al peso. Entonces tenemos:
$F_{cf}=m\dfrac{v^{2}}{r}$
$P=mg$
$mg=m\dfrac{v^{2}}{r}$
$v=\sqrt{gr}$
Ya tenemos calculada la velocidad mínima que tiene que llevar el objeto en el punto A. Ahora calcularemos la energía que tiene el objeto cuando se encuentra en A y en B. En el punto B se encuentra en reposo y no tiene velocidad, entonces sólo tiene energía potencial. En cambio, en el punto A tiene energía potencial y cinética:
$E_{B}=E_{p}=mgh$
$E_{A}=E_{p}+E_{c}=mg2r+\frac{1}{2}mv^{2}$
Como estamos en un caso donde no hay fricción, es decir, el objeto no
pierde energía durante su recorrido, la energía en A es la misma que en
B.
$E_{B}=E_{A}$
$mgh=2mgr+\frac{1}{2}mv^{2}$
Ahora eliminamos $m$ y sustituimos el valor de $v$ calculado anteriormente:
$gh=2gr+\frac{1}{2}gr$
Finalmente calculamos el valor de $h$ analíticamente y numéricamente en el caso que $r=2\ m$:
$h=2r+\frac{1}{2}r=(\frac{4}{2}+\frac{1}{2})r=\frac{5}{2}r$
$h=\frac{5}{2}r$ $h=5\ m$
Es muy interesante ver que la altura necesaria para que pueda hacer el looping sólo depende del radio de la curva. En ningún caso depende de la gravedad. Es decir, que ésta relación entre $h$ y $r$ sería la misma para una hipotética montaña rusa en la luna o en júpiter.