A continuación calcularemos la derivada de la función $f(x)$, producto de las funciones $g(x)$ y $h(x)$:
$f(x)=g(x)·h(x)$
Aplicaremos el logaritmo en los dos miembros de la igualdad, así nos quitaremos el producto:
$\ln f(x)=\ln [g(x)·h(x)]$
$\ln f(x)=\ln g(x)+\ln h(x)$
Ahora derivamos los dos miembros:
$\dfrac{1}{f(x)}·f^{'}(x)=\dfrac{1}{g(x)}·g^{'}(x)+\dfrac{1}{h(x)}·h^{'}(x)$
Aislamos $f^{'}(x)$ y sustituimos $f(x)=g(x)·h(x)$ en la ecuación.
$f^{'}(x)=g(x)·h(x)\bigg[ \dfrac{1}{g(x)}·g^{'}(x)+\dfrac{1}{h(x)}·h^{'}(x)\bigg]=g^{'}(x)·h(x)+g(x)·h^{'}(x)$
Hemos demostrado que:
$f(x)=g(x)·h(x) \to f^{'}(x)=g^{'}(x)·h(x)+g(x)·h^{'}(x)$
Ejemplo:
$f(x)=x^{2}\sin x$
En este caso $x^{2}=g(x)$ y $\sin x=h(x)$, entonces:
$f^{'}(x)=2x\sin x+x^{2}\cos x$